a) Kiihtyvyysvektori saadaan nopeuden muutoksesta: \begin{equation*} \begin{split} \overline{a} &= \frac{\Delta \overline{v}}{t} \\ \overline{a} &= \frac{\overline{v}_2-\overline{v}_1}{t} \\ \overline{a} &= \frac{(20{,}0\overline{i}-5{,}00\overline{j})\,\mathrm{\frac{m}{s}}-(4{,}00\overline{i}+1{,}00\overline{j})\,\mathrm{\frac{m}{s}}}{20{,}0\,\mathrm{s}} \\ \overline{a} &= \frac{(16{,0}\overline{i}-6{,}00\overline{j})\,\mathrm{\frac{m}{s}}}{20{,}0\,\mathrm{s}} \\ \overline{a} &= (0{,}8\overline{i}-0{,}3\overline{j})\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} \end{split} \end{equation*} b) Kinematiikan kaavoilla saadaan laskettua kalan sijainti \(x\)-suunnassa: \begin{equation*} \begin{split} \overline{r}_x &= \overline{r}_{0x}+\overline{v}_{0x}t+\frac{1}{2}\overline{a}_xt^2 \\ \overline{r}_x &= 10{,}0\overline{i}\,\mathrm{m}+4{,}00\overline{i}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\cdot 25\,\mathrm{s}+\frac{1}{2}\cdot 0{,}8\overline{i}\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot (25\,\mathrm{s})^2 \\ \overline{r}_x &= 360\overline{i}\,\mathrm{m} \end{split} \end{equation*} ja \(y\)-suunnassa: \begin{equation*} \begin{split} \overline{r}_y &= \overline{r}_{0y}+\overline{v}_{0y}t+\frac{1}{2}\overline{a}_yt^2 \\ \overline{r}_y &= -4{,}00\overline{j}\,\mathrm{m}+1{,}00\overline{j}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\cdot 25\,\mathrm{s}+\frac{1}{2}\cdot (-0{,}3\,\mathrm{\frac{m}{s^2}})\cdot (25\,\mathrm{\frac{m}{s}})^2 \\ \overline{r}_y &= -72{,}75\overline{j}\,\mathrm{m} \end{split} \end{equation*} Eli kala on paikkavektorissa: \begin{equation*} \overline{r}_f =( 360\overline{i}-72{,}75\overline{j})\,\mathrm{m} \end{equation*}

a) Sähköiselle voimalle: \begin{equation*} \begin{split} \overline{F} &= q\overline{E} \\ \overline{F} &= 300\cdot10^{-6}\,\mathrm{C}\cdot (50{,}0\overline{i}-20{,}\overline{j})\,\mathrm{\frac{N}{C}} \\ \overline{F} &= (150{,}0\overline{i}-60{,}0\overline{j})\cdot10^{-4}\,\mathrm{N} \\ \end{split} \end{equation*} b) Sähköinen voima aiheuttaa kiihtyvyyden Newtonin II lain mukaisesti: \begin{equation*} \begin{split} \overline{F} &= m\overline{a} \\ \overline{a} &= \frac{ \overline{F}}{m} \\ \overline{a} &= \frac{ (150{,}0\overline{i}-60{,}0\overline{j})\cdot10^{-4}\,\mathrm{N}}{0{,}1\,\mathrm{kg}} \\ \overline{a} &= (150{,}0\overline{i}-60{,}0\overline{j})\cdot10^{-3}\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} \end{split} \end{equation*} c) Kappale lähtee levosta ja sillä on kiihtyvyys \(x\)-suunnassa. Ratkaistaan aika, joka sillä kuluu matkan \(s=67{,}5\,\mathrm{cm}\) siirtymiseen. Käytetään nyt kinematiikan yhtälöä skalaarimuodossa, mutta sen voisi tehdä myös vektorimuodossa: \begin{equation*} \begin{split} s &= \underbrace{s_0}_0+\underbrace{v_{0x}}_{0}{t} +\frac{1}{2}a_xt^2 \\ t &= \sqrt{\frac{2s}{a_x}} \\ t &= \sqrt{\frac{2\cdot67{,}5\cdot10^{-2}\,\mathrm{m}}{150\cdot10^{-3}\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}} \\ t &= \sqrt{9}\,\mathrm{s} \\ t &= 3\,\mathrm{s} \\ \end{split} \end{equation*} jolloin nopeus: \begin{equation*} \begin{split} \overline{v} &= \overline{a}t \\ \overline{v} &= (150{,}0\overline{i}-60{,}0\overline{j})\cdot10^{-3}\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot 3\,\mathrm{s} \\ \overline{v} &= (450\overline{i}-180\overline{j})\cdot10^{-3}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\\ \end{split} \end{equation*}

Työ on määritelty voiman ja siirtymän pistetulona: \begin{equation*} \begin{split} W &= \overline{F}_g\cdot \Delta\overline{r} \\ W &= (-mg\overline{j})\cdot (\Delta x\overline{i}+\Delta y\overline{j}) \\ W &= (0)(\Delta x)+(-mg)(\Delta y) \\ W &= -mg\Delta y \end{split} \end{equation*}

a) Ratkaistaan kahden pisteen avulla siirtymävektori: \begin{equation*} \overline{r} = \overline{AB} = (5\,\mathrm{m}-3\,\mathrm{m})\overline{i}+(4\,\mathrm{m}-(-3\,\mathrm{m}))\overline{j} = (2\overline{i}+7\overline{j})\,\mathrm{m} \end{equation*} Jolloin voiman tekemä työ: \begin{equation*} \begin{split} W &= \overline{F}\cdot\overline{r} \\ W &= (5\overline{i}+10\overline{j})\,\mathrm{N}\cdot(2\overline{i}+7\overline{j})\,\mathrm{m} \\ W&= (5)(2)\,\mathrm{J}+(10)(7)\,\mathrm{J} \\ W &= 80\,\mathrm{J} \end{split} \end{equation*} b) Kahden vektorin välinen kulma on määritelty kaavalla: \begin{equation*} \begin{split} \overline{F}\cdot \overline{r} &= \|\overline{F}\|\,\|\overline{r}\|\cos{\theta} \\ \cos{\theta} &= \frac{\overline{F}\cdot \overline{r}}{\|\overline{F}\|\,\|\overline{r}\|} \\ \cos{\theta} &= \frac{80\,\mathrm{J}}{\sqrt{5^2+10^2}\sqrt{2^2+7^2}\,\mathrm{J}} \\ \cos{\theta} &= \frac{80}{\sqrt{125}\sqrt{53}} \\ \cos{\theta} &= \frac{80}{\sqrt{6625}} \\ \cos{\theta} &\approx \frac{80}{81{,}63} \\ \theta &\approx 11{,}46^\circ \\ \theta &\approx 11^\circ \\ \end{split} \end{equation*}

a) Lähtien annetusta tehon kaavasta \begin{equation*} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = \frac{\overline{F}\cdot\overline{s}}{\Delta t} \end{equation*} Nopeuden määritelmästä tiedetään, että: \begin{equation*} \overline{v} = \frac{\overline{s}}{\Delta t} \end{equation*} Jolloin teholle saadaan muoto: \begin{equation*} P = \overline{F}\cdot\overline{v} \end{equation*} b) Kappaleen nopeus \(x\)-suunnassa on muotoa: \begin{equation*} \overline{v}_x = a\overline{i} \end{equation*} jossa \(a\) on vakio. Lasketaan tehon pistetulo: \begin{equation*} \begin{split} P &= (5{,}0\overline{i}-10\overline{j})\,\mathrm{N} \cdot (a\overline{i})\,\mathrm{\frac{m}{s}} \\ 12\,\mathrm{W} &= 5{,}0(a)\,\mathrm{W}-10(0)\,\mathrm{W} \\ a &= \frac{12\,\mathrm{W}}{5\,\mathrm{W}} \\ a &= 2{,}4\\ \end{split} \end{equation*} Eli kappaleen nopeus: \begin{equation*} \overline{v}_x = 2{,}4\overline{i}\,\mathrm{\frac{m}{s}} \end{equation*}