Olkoon \(v_1\) liukuportaiden nopeus, \(v_2\) fyysikon (kävely) nopeus, \(\ell\) liukuportaiden pituus. Tällöin portaiden toimiessa ja fysiikan paikallaan seisoessa nopeus: \begin{equation*} \ell = v_1t_1 \Rightarrow v_1 = \frac{\ell}{t_1} \end{equation*} Seuraavaksi fyysikko tulee alaspäin. Portaat ei liiku, jolloin nopeus: \begin{equation*} \ell = v_2t_2 \Rightarrow v_2 = \frac{\ell}{t_2} \end{equation*} Nyt puolet matkasta fyysikko on paikallaan, jolloin matkassa kestää puolet ajasta \(t_1\). Loppupuoliskon aikana fyysikko ja portaat liikkuvat samaan suuntaan, kokonaisnopeus tällöin: \begin{equation*} v=v_1+v_2 \end{equation*} jolloin matkassa kestää: \begin{equation*} \begin{split} t &= \frac{t_1}{2}+\frac{\ell/2}{v} \\ t&= \frac{t_1}{2}+\frac{\ell/2}{v_1+v_2} \\ t&= \frac{t_1}{2}+\frac{1}{2}\frac{\ell}{\frac{\ell}{t_1}+\frac{\ell}{t_2}} \\ t &= \frac{t_1(t_1+2t_2)}{2(t_1+t_2)} \\ t &= \frac{2\,\mathrm{min}\cdot (2+2\cdot2{,}5)\,\mathrm{min}}{2(2+2{,}5)\,\mathrm{min}} \\ t &= 1{,}6\,\mathrm{min}\\ \end{split} \end{equation*}

Olennaisesti, jotta hissi pääsisi huipulle mahdollisimman nopeasti sen kiihdytysvaiheen tulisi kestää mahdollisimman kauan, jonka jälkeen se alkaisi välittömästi jarruttamaan.
Hissi lähtee levosta ja kiihdytysvaiheen jälkeen sillä on nopeus: \begin{equation*} v=a_1t_1 \end{equation*} Heti tämän jälkeen hissi alkaa jarruttamaan, kunnes nopeus on nolla: \begin{equation*} v-a_2t_2 = 0\Rightarrow v=a_2t_2 \end{equation*} Huomataan että yhtälöillä on riippuvuus: \begin{equation*} a_1t_1=a_2t_2 \Rightarrow t_2 = \frac{a_1}{a_2}t_1 \Rightarrow t_1 = \frac{a_2}{a_1}t_2 \end{equation*} Olkoon kiihtyvyys vaiheessa kuljettu matka: \begin{equation*} h_1 = \frac{1}{2}a_1t_1^2 \end{equation*} Vastaavasti jarrutusvaiheen aikana : \begin{equation*} h_2 = \frac{1}{2}a_2t_2^2 \end{equation*} Eli kokonaismatka huipulle: \begin{equation*} \begin{split} h=h_1+h_2=&\frac{1}{2}a_1t_1^2+\frac{1}{2}a_2t_2^2 \quad\quad(1)\\ h&=\frac{1}{2}a_1t_1^2+\frac{1}{2}a_2\left(\frac{a_1}{a_2}t_1\right)^2 \\ h&=\frac{1}{2}a_1t_1^2+\frac{1}{2}\frac{a_1^2t_1^2}{a_2} \\ h&=\frac{a_1t_1a_2+a_1^2t_1}{2a_2}\\ h &=\frac{a_1(a_1+a_2)}{2a_2}t_1^2 \end{split} \end{equation*} Josta saadaan ratkaistua kiihdysvaiheen aika: \begin{equation*} t_1 = \sqrt{\frac{2ha_2}{a_1(a_1+a_2)}} \end{equation*} sijoittamalla yhtälöön (1) nyt aika \(t_1 = \frac{a_2}{a_1}t_2\) saadaan samalla tyylillä: \begin{equation*} t_2 = \sqrt{\frac{2ha_1}{a_2(a_1+a_2)}} \end{equation*} Eli kokonaisaika hissin nousussa: \begin{equation*} \begin{split} t &= t_1+t_2 \\ t &= \sqrt{\frac{2ha_2}{a_1(a_1+a_2)}}+\sqrt{\frac{2ha_1}{a_2(a_1+a_2)}}\\ t &= \sqrt{\frac{2\cdot 60\,\mathrm{m}\cdot 6\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}{4\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}(4+6)\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}}+\sqrt{\frac{2\cdot 60\,\mathrm{m}\cdot4\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}{6\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}(4+6)\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}} \\ t &= \sqrt{18 \,\mathrm{s^2}}+\sqrt{8 \,\mathrm{s^2}} \end{split} \end{equation*} Tehtävänannon taulukosta saadaan likiarvot ajoille: \begin{equation*} t\approx 4,24\,\mathrm{s}+2,82\,\mathrm{s} = 7,06\,\mathrm{s} \end{equation*}

Jätetään ilmanvastus huomiotta. Pallon nopeus vaakasuunnassa on vakio, jolloin sen kulkema matka \(x\)-suunnassa: \begin{equation*} \begin{split} x = v_{0_x}t = v_0\cos{(0^\circ)}t &= v_0t \\ \Rightarrow t &= \frac{x}{v_0} \\ \end{split} \end{equation*} Jalkapallon kulkema matka \(y\)-suunnassa, alkusijainti on alustan päällä: \begin{equation*} \begin{split} y_{pallo} &= y_o- \frac{1}{2}gt^2 \\ y_{pallo} &= R-\frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_0}\right)^2 \\ y_{pallo} &= R-\frac{gx^2}{2v_0^2} \\ \end{split} \end{equation*} Jotta jalkapallo ei osuisi alustaan, lentorata (paraabeli) pitää olla jatkuvasti alustan yläpuolella, toisin sanoen niiden summan täytyy olla suurempi kuin alustan säteen. Muodostetaan epäyhtälö: \begin{equation*} \begin{split} y_{pallo}^2+x_{pallo}^2 >& R^2 \quad\quad(1)\\ \left(R-\frac{gx^2}{2v_0^2}\right)^2+x^2 >& R^2 \\ R^2-2R\cdot\frac{gx^2}{2v_0^2}+\frac{g^2x^4}{4v_0^4}+x^2 >& R^2 \\ \frac{g^2x^4}{4v_0^4}+x^2 >& \frac{Rgx^2}{v_0^2} \\ \frac{g^2x^2}{4v_0^4}+1 >& \frac{Rg}{v_0^2} \\ \end{split} \end{equation*} Toisaalta jos yhtälö toteutuu arvolla pienimmällä arvolla \(x=0\) juuri ja juuri osuu alustaan, niin se toteutuu myös kaikilla muilla arvoilla \(x>0\): \begin{equation*} \begin{split} \frac{g^2\cdot 0^2}{4v_0^4}+1 >& \frac{Rg}{v_0^2} \\ 1 >& \frac{Rg}{v_0^2} \\ v_0^2 >& gR \\ v_0 >& \sqrt{gR} \\ \end{split} \end{equation*} b) Pallon \(y\)-koordinaatti maanpinnalla on nolla, tällöin yhtälöstä (1) saadaan: \begin{equation*} \begin{split} x^2 >& R \\ \frac{gx^2}{2v_0^2}>& R \\ \frac{gx^2}{2(\sqrt{gR})^2}>& R \\ \frac{gx^2}{2gR}>& R \\ \frac{x^2}{2R}>& R \\ x &= \sqrt{2R^2}\\ x &= R\sqrt{2}\\ \end{split} \end{equation*} Jolloin etäisyys alustan keskipisteestä: \begin{equation*} d = x-R = R\sqrt{2}-R = R(\sqrt{2}-1) \end{equation*}

Tarkastellaan ensin kiven liikettä \(x\)-suunnassa. Kivellä on vaakasuunnassa kiihtyvyys \(a\), joka on sen alkunopeutta \(v\) vastaan, koska kivi hidastuu. Tarkoittaen, että kiihtyvyyden etumerkki on vastakkainen kuin alkunopeudella: \begin{equation*} \begin{split} \underbrace{x}_0 &= vt - \frac{1}{2}at^2 \\ 0 &= vt - \frac{1}{2}at^2 \\ t\left(v - \frac{1}{2}at\right) &= 0 \\ \end{split} \end{equation*} Tulon nollasäännön mukaan: \begin{equation*} \begin{split} t = 0 &\text{ tai } v-\frac{1}{2}at = 0 \\ t = 0 &\text{ tai } t = \frac{2v}{a} \\ \end{split} \end{equation*} Tarkastellaan nyt kiven liikettä \(y\)-suunnassa. Kivi pudotetaan levosta korkeudelta \(h\) ja se on lopussa maanpinnalla: \begin{equation*} \begin{split} h &= \underbrace{h_0}_{0}+\underbrace{v_0y}_{0}t+\frac{1}{2}gt^2 \\ h &= \frac{1}{2}gt^2 \\ t^2 &= \frac{2h}{g} \\ \left(\frac{2v}{a}\right)^2 &=\frac{2h}{g} \\ \frac{4v^2}{a^2} &= \frac{2h}{g} \\ h &= \frac{2gv^2}{a^2} \end{split} \end{equation*}