Valintaan tilanteen referenssitasoksi eng. Datum line männän korkeustaso. Tasapainossa paine täytyy olla yhtäsuuri kummassakin kohdassa referenssitasolla:

Lasketaan paine, joka kohdistuu mäntään. Mäntään aiheuttaa painetta laatikko, mutta myös ulkoinen ilmanpaine. Ratkaistaan ensin laatikon aiheuttama paine: \begin{equation*} p_{laatikko}=\frac{F}{A} = \frac{mg}{A} \end{equation*} jolloin mäntään kohdistuva kokonaispaine: \begin{equation*} \begin{split} p_{m} &= p_{laatikko} + p_0 \\ p_{m} &= \frac{mg}{A}+ p_0 \\ \end{split} \end{equation*} Huomataan, että putken toinen pää on avoin. Toisella puolella referenssitasolla vaikuttaa siis ilmanpaine, mutta myös nesteen aiheuttama hydrostaattinen paine. Näiden summan tulee olla yhtäsuuri kuin männälle kohdistuva paine: \begin{equation*} \begin{split} p_{m} &= p_0+\rho gh \\ \frac{mg}{A}+ p_0 &= p_0+\rho gh \\ \frac{mg}{A} &= \rho gh \\ h &= \frac{mg}{\rho gA} \\ h &= \frac{mg}{\rho g\pi r^2} \\ h &= \frac{mg}{\rho g\pi \left(\frac{D}{2}\right)^2} \\ h &= \frac{mg}{\rho g\pi \frac{D^2}{4}} \\ h &= \frac{4mg}{\rho g\pi D^2} \\ \end{split} \end{equation*}

a) Oletetaan, että ilmaa ei liukene sukelluskellosta meriveteen laskun aikana. Käsitellään ilmaa ideaalikaasuna, tällöin ideaalikaasulaista alkutilanteessa: \begin{equation*} \begin{split} p_0 V_{0} &= nRT_1 \\ p_0Ah &= nRT_1 \\ n &= \frac{p_0Ah}{RT_1} \end{split} \end{equation*} Sylinteri nyt lasketaan mereen, jolloin vesi nousee korkeudelle \(x\) kellon sisällä. Ideaalikaasulaista ilmalle laskun jälkeiselle tilanteelle: \begin{equation*} \begin{split} p_{kello}A(h-x) &= nRT_2 \\ n &= \frac{p_{kello}A(h-x)}{RT_2} \\ \end{split} \end{equation*} Toisaalta lämpötila laskee \(0{,}233\,\mathrm{^\circ C}\) metriä kohden meressä, eli lämpötila \(h_v=90\) metrin syvyydessä: \begin{equation*} T_2 = 25^\circ C - 0{,}233\,\mathrm{\frac{^\circ C}{m}}\cdot90 \,\mathrm{m} = 4{,}03\,^\circ \mathrm{C} \end{equation*} Paine kellon sisällä: \begin{equation*} p_{kello} = p_0+\rho gh_v \end{equation*} Asettamalla ainemäärät yhtäsuuriksi saadaan ratkaistua \(x\): (tärkeää muistaa, että ideaalikaasulakia käyttäessä lämpötilat sijoitetaan Kelvin asteina!) \begin{equation*} \begin{split} \frac{p_0Ah}{RT_1} &= \frac{p_{kello}A(h-x)}{RT_2} \\ \frac{p_0h}{T_1} &= \frac{(p_0+\rho gh_v)(h-x)}{T_2} \\ p_0h\frac{T_2}{T_1} &= (p_0+\rho gh_v)(h-x) \\ \frac{p_0h}{p_0+\rho gh_v} \frac{T_2}{T_1} &= h-x \\ x &= h-\frac{p_0h}{p_0+\rho gh_v} \frac{T_2}{T_1} \\ x &= 2{,}70\,\mathrm{m}-\frac{101325\,\mathrm{Pa}\cdot 2{,}70\,\mathrm{m}}{101325\,\mathrm{Pa}+1{,}033\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}} \cdot 9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot 90 \,\mathrm{m}} \cdot \frac{(4{,}03+273{,}15 \,\mathrm{K})}{(25+273{,}15 \,\mathrm{K})} \\ x &= 2{,}44901\,\mathrm{m} \approx 2{,}45\,\mathrm{m} \\ \end{split} \end{equation*} b) Jotta kaikki vesi poistuisi sukelluskellosta, sen sisällä olevan ilman paine tulee olla vähintään yhtä suuri kuin sen alaosassa olevan veden paine 90 metrin syvyydessä, eli paineen tulee olla: \begin{equation*} \begin{split} p = p_0+\rho gh &= 101325\,\mathrm{Pa} +1{,}033\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}\cdot9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot 90\,\mathrm{m} \\ &= 111548{,}73 \,\mathrm{Pa} \\ &\approx 112 \,\mathrm{kPa} \end{split} \end{equation*}

a) Huomataan, että messingin lämpölaajenemiskerroin on suurempi kuin teräksen. Tällöin messingin täytyy olla ulompi metalli, koska se on taipunut alkuperäisestä muodostaan enemmän. b) Kaaren pituus saadaan laskettua kaavalla \(b=R\theta\), eli nyt sisemmälle kaarelle (teräs): \begin{equation*} \ell_t = R\theta \end{equation*} ja ulommalle (messinki): \begin{equation*} \begin{split} \ell_m &= (R+d)\theta \\ \ell_m &= R\theta+d\theta \\ R &=\frac{\ell_m-d\theta}{\theta} \\ \end{split} \end{equation*} sijoittamalla aikaisempaan yhtälöön: \begin{equation*} \begin{split} \ell_t &= \frac{\ell_m-d\theta}{\theta}\cdot\theta \\ \ell_t &= \ell_m-d\theta \\ \theta &= \frac{\ell_m -\ell_t}{d} \end{split} \end{equation*} Kummankin metallin alkuperäinen pituus on \(\ell\), jolloin pituuden lämpölaajenemisen avulla voidaan kirjoittaa teräkselle: \begin{equation*} \begin{split} \ell_t &= \ell(1+\alpha_t\Delta T) \\ \end{split} \end{equation*} ja messingille: \begin{equation*} \begin{split} \ell_m &= \ell(1+\alpha_m\Delta T)\\ \end{split} \end{equation*} Jolloin kulman lauseke saadaan muotoon: \begin{equation*} \begin{split} \theta &= \frac{\ell(1+\alpha_m\Delta T)-\ell(1+\alpha_t\Delta T)}{d}\\ \theta &= \frac{\ell((1+\alpha_m\Delta T)-(1+\alpha_t\Delta T))}{d}\\ \theta &= \frac{\ell(\alpha_m\Delta T-\alpha_t\Delta T)}{d}\\ \theta &= \frac{\ell\Delta T(\alpha_m-\alpha_t)}{d}\\ \end{split} \end{equation*} c) Kokonaiselle ympyrälle \(\theta = 2\pi\). Ratkaistaan yhtälöstä \(\Delta T\): \begin{equation*} \begin{split} \theta &= \frac{\ell\Delta T(\alpha_m-\alpha_t)}{d}\\ \theta d &= \ell\Delta T(\alpha_m-\alpha_t) \\ \Delta T &= \frac{2\pi d}{\ell(\alpha_m-\alpha_t)} \\ \Delta T &= \frac{2\cdot3,14159\cdot 10\cdot10^{-3}\cdot10^{-2}\,\mathrm{m}}{10\cdot 10^{-2}\,\mathrm{m}( 18{,}70\cdot10^{-6} -11,70\cdot10^{-6})\,1/^\circ\mathrm{C}} \\ \Delta T &= 89{,}7597\,\mathrm{\frac{1}{^\circ C}} \approx 89{,}76\,\mathrm{\frac{1}{^\circ C}} \\ \end{split} \end{equation*} Lasketaan teräsliuskan pituus: \begin{equation*} \ell_t = \ell(1+\alpha_t\Delta T) =10\,\mathrm{cm}(1+11{,}70\cdot10^{-6}\,\mathrm{\frac{1}{^\circ C}}\cdot 89{,}7597\,\mathrm{\frac{1}{^\circ C}}) = 10{,}01050\,\mathrm{cm} \end{equation*} jolloin ympyrän säde saadaan kaaren pituudesta: \begin{equation*} \begin{split} \ell_m &= R\theta \\ R &= \frac{\ell_m}{\theta} \\ R &= \frac{ 10{,}01050\,\mathrm{cm}}{2\cdot3{,}14159} \\ R &= 1{,}5932 \,\mathrm{cm} \\ R &\approx 1{,}593 \,\mathrm{cm} \end{split} \end{equation*}

Jätetään astian (eli keittimen) lämpökapasiteetti huomiotta.
Ennen vedenkeittimen päälle laittamista tulee laskea vesi-jää seoksen lämpötila tasapainossa. Toisaalta voidaan olettaa, että osa jäästä on sulanut vedeksi. Olkoon jäljelle jäävän jään massa \(m_j'\). Veden lämpötila laskee alkuarvosta \(T_v\) arvoon \(T_1=0\,\mathrm{^\circ C}\) (eli termodynaaminen tasapaino), tätä kuvaa energia: \begin{equation*} Q=cm\Delta T = cm_v(T_v-T_1) \end{equation*} Toisaalta jäätä sulaa pois: \begin{equation*} Q = sm_{j_{pois}} \end{equation*} Yhdiställä yhtälö saadaan: \begin{equation*} sm_{j_{pois}} = cm_v(T_v-T_1) \Rightarrow m_{j_{pois}} = \frac{cm_v(T_v-T_1)}{s} \end{equation*} Jolloin jäljelle jäävän jään määrä: \begin{equation*} \begin{split} m_j' &= m_j-m_{j_{pois}} \\ m_j' &= m_j -\frac{cm_v(T_v-T_1)}{s}\\ m_j' &= 350\cdot10^{-3}\,\mathrm{kg} -\frac{4{,}19\,\mathrm{\frac{kJ}{kg\cdot ^\circ C}} \cdot 250\cdot10^{-3}\,\mathrm{kg}\cdot(20-0)\mathrm{^\circ C}}{334\,\mathrm{\frac{kJ}{kg}}} \\ m_j' &= 0{,}28727\,\mathrm{kg} \\ \end{split} \end{equation*} Eli \(m_j'>0\) oletuksemme oli siis oikea, jäätä on sulanut veden joukkoon! Nyt veden keitin laitetaan päälle. Energia kuluu veden lämmittämiseen loppulliseen lämpötilaan \(T\) ja jään sulattamiseen. Täytyy muistaa huomioida, että myös sulanut jää pitää lämmittää sataan asteeseen: \begin{equation*} \begin{split} E &= Q_{kok} \\ \eta Pt &=Q_s+ Q_l\\ \eta Pt &= sm_j + cm_v(T_1-T_v)+c(m_j+m_v)(T-T_1)\\ \eta Pt &= sm_j - cm_v(T_v-T_1)+c(m_j+m_v)(T-T_1)\\ t &= \frac{sm_j - cm_v(T_v-T_1)+c(m_j+m_v)(T-T_1)}{\eta P} \\ t &= \frac{334\,\mathrm{\frac{kJ}{kg}}\cdot 350\cdot10^{-3}\,\mathrm{kg} - 4{,}19\,\mathrm{\frac{kJ}{kg\cdot^\circ C}}\cdot 250\cdot(20-0)\mathrm{^\circ C}+(350+250)\cdot10^{-3}\,\mathrm{kg}\cdot(100-0)\mathrm{^\circ C}}{0{,}8\cdot 1{,}8\,\mathrm{kW}} \\ t &= 241{,}215 \,\mathrm{s} \approx 4{,}02 \,\mathrm{min} \\ \end{split} \end{equation*}

Tiedetään, että lämpökone noudattaa Carnot'n kiertoa, eli sen Carnot'n hyötysuhde: \begin{equation*} \eta = \frac{W}{Q_{H1}} = 1-\frac{T_C}{T_H} = 1-\frac{300\,\mathrm{K}}{800\,\mathrm{K}} = 0{,}625 \end{equation*} Josta saadaan ratkaistua työ: \begin{equation*} \frac{W}{Q_{H1}} = 0{,}625 \Rightarrow W = \eta Q_{H1} = 0{,}625\cdot20\,\mathrm{kW} = 12{,}5\,\mathrm{kW} \end{equation*} Tehty työ pyörittää lämpöpumppua, jolloin työ kuluu: \begin{equation*} \begin{split} W &= Q_{H2}-Q_{C2} \\ Q_{H2} &= W+Q_{C2} \\ Q_{H2} &= 12{,}5\,\mathrm{kW}+10\,\mathrm{kW} \\ Q_{H2} &= 22{,}5\,\mathrm{kW} \end{split} \end{equation*} Jolloin tehokertoimen määritelmästä: \begin{equation*} e = \frac{Q_{H2}}{Q_{H2}-Q_{C2}} = \frac{22{,}5\,\mathrm{kW}}{22{,}5\,\mathrm{kW}-10\,\mathrm{kW}} = 1{,}8 \end{equation*}