Ratkaistaan ensin tason kaltevuus \(\theta\) annetuilla tiedoilla: \begin{equation*} \sin{\theta} = \frac{0,6\ell}{\ell} \Rightarrow \theta = \sin^{-1}(0{,}6) \end{equation*} Valitaan \(x\)-akseli tason suuntaiseksi ja \(y\)-akseli tasoa kohtisuoraksi kuvan mukaisesti:

Ratkaistaan ensin laatikon kiihtyvyys (eli hidastuvuus), kun se menee tasoa ylös. Newtonin II laki laatikolle ylöspäin mentäessä \(x\)-suunnassa tällöin: \begin{equation*} \begin{split} \sum \overline{F_x} &= m\overline{a}_1 \\ \overline{F}_\mu +\overline{G}_x &= m\overline{a}_1 \\ \mu N +G\sin{\theta} &= ma_1 \\ \mu N +mg\sin{\theta} &= ma_1 \\ \end{split} \end{equation*} Newtonin II laki laatikolle ylöspäin mentäessä \(y\)-suunnassa tällöin: \begin{equation*} \begin{split} \sum \overline{F_y} &= \overline{0} \\ \overline{G}_y+\overline{N} &= 0 \\ -G\cos{\theta} +N &= 0 \\ N &= mg\cos{\theta} \end{split} \end{equation*} Sijoitetaan aiempaan yhtälöön: \begin{equation*} \begin{split} \mu mg\cos{\theta} +mg\sin{\theta} &= ma_1 \\ g(\mu \cos{\theta} +\sin{\theta}) &= a_1 \\ \end{split} \end{equation*} Ratkaistaan nyt tason kiihtyvyys kun se tulee takaisin alas. Huomataan, että tilanne on identtinen \(y\)-suunnassa. Toisaalta \(x\)-suunnassa nyt kitkavoima ja painovoiman vaakakomponentit osoittavat eri suuntiin, toisin kuin ylöspäin mentäessä. Newton II \(x\)- suunnassa: \begin{equation*} \begin{split} \sum \overline{F_x} &= m\overline{a}_2 \\ \overline{F}_\mu +\overline{G}_x &= m\overline{a}_2 \\ F_\mu+G_x &= ma_2 \\ -\mu N +mg\sin{\theta} &= ma_2 \\ -\mu mg\cos{\theta}+mg\sin{\theta} &= ma_2 \\ g(-\mu \cos{\theta} \sin{\theta}) &= a_2 \\ \end{split} \end{equation*} Mikäli kappale liikkuu vakiokiihtyvyydellä ja sen alku-tai loppunopeus on nolla , niin kinematiikan kaavojen mukaan: \begin{equation*} \ell = \frac{1}{2}at^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2\ell}{a}} \end{equation*} Eli aikasuhde: \begin{equation*} \begin{split} \frac{t_2}{t_1} &= \frac{\sqrt{\frac{2\ell}{a_2}}}{\sqrt{\frac{2\ell}{a_1}}} \\ \frac{t_2}{t_1} &= \sqrt{\frac{\frac{2\ell}{a_2}}{{\frac{2\ell}{a_1}}}} \\ \frac{t_2}{t_1} &= \sqrt{\frac{a_1}{a_2}} \\ \frac{t_2}{t_1} &= \sqrt{\frac{g(\mu \cos{\theta} +\sin{\theta})}{g(-\mu \cos{\theta} +\sin{\theta})}} \\ \frac{t_2}{t_1} &= \sqrt{\frac{g(\mu \cos{\theta} +\sin{\theta})}{g(-\mu \cos{\theta} +\sin{\theta})}} \\ \frac{t_2}{t_1} &= \sqrt{\frac{\mu \cos{\theta} +\sin{\theta}}{-\mu \cos{\theta} +\sin{\theta}}} \\ \frac{t_2}{t_1} &= \sqrt{\frac{0{,}5\cdot \cos{(\arcsin{0{,}6})} +\sin{(\arcsin{0{,}6}})}{-0{,}5\cdot \cos{(\arcsin{0{,}6})} +\sin{(\arcsin{0{,}6}})}} \\ \frac{t_2}{t_1} &= \sqrt{\frac{0{,}5\cdot \cos{(\arcsin{0{,}6})} +0{,}6}{-0{,}5\cdot \cos{(\arcsin{0{,}6})} +0{,}6}} \\ \end{split} \end{equation*} Kosinien avaamiseksi tarvitsee käyttää annettua trigonometrista kaavaa: \begin{equation*} \cos \left(\arcsin \left(0,6\right)\right)=\sqrt{1-(0{,}6)^2}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} \frac{t_2}{t_1} &= \sqrt{\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{5} +\frac{3}{5}}{-\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{5} +\frac{3}{5}}} \\ \frac{t_2}{t_1} &= \sqrt{5} \end{split} \end{equation*}

Olkoon rekan nopeus \(n\) törmäyksen jälkeen \(v_n\), eli ensimmäisen törmäyksen jälkeen liikemäärän säilymiselle voitaisin kirjoittaa: \begin{equation*} Mv_0 = (M+m)v_1 \end{equation*} jossa \(M\) on rekan massa and \(v_1\) on törmäyksen jälkeinen nopeus. Toisen törmäyksen jälkeen: \begin{equation*} Mv_0 = (M+m)v_1 = (M+2m)v_2 \end{equation*} Idea voidaan yleistää \(n\) törmäykselle: \begin{equation*} Mv_0 = (M+m)v_1 = (M+2m)v_2 = \cdots = (M+nm)v_n \end{equation*} Josta saadaan ratkaistua nopeussuhde \(\frac{v_n}{v_0} = p\), joka on \(75\%\): \begin{equation*} \begin{split} \Rightarrow \frac{v_n}{v_0} &= \frac{M}{M+nm} \\ p &= \frac{M}{M+nm} \\ Mp +nmp &= M \\ nmp &= M-Mp \\ n &= \frac{M-Mp}{mp} \\ n &= \frac{M(1-p)}{mp} \\ n &= \frac{6000\,\mathrm{kg}\cdot(1-0{,}75)}{60\,\mathrm{kg}\cdot0{,}75} \\ n &= 33{,}3333 \\ n &\approx 34 \\ \end{split} \end{equation*} Tarvitaan siis vähintään 34 hiekkasäkkiä.

Olkoon pingviinejä \(n\) jäälautan päällä ennen kuin se uppoaa täysin veden alle. Lauttaan kohdistuva noste tulee olla yhtäsuuri kuin pingviinien- ja lautan yhteispaino. Newtonin II laista saadaan: \begin{equation*} \begin{split} \sum \overline{F} &= \overline{0} \\ \overline{F_n}+\overline{G}_{pingviinit}+\overline{G}_{lautta} &= \overline{0} \\ \end{split} \end{equation*} Valitaan positiivinen suunta ylöspäin, jolloin: \begin{equation*} \begin{split} {F_n}-{G}_{pingviinit}-{G}_{lautta} &= 0\\ F_n &= m_{pingviinit}g+m_{lautta}g \\ F_n &= n\cdot m_{1.pingviini}g+m_{lautta}g \\ F_n &= g(nm_{1.pingviini}+m_{lautta}) \\ \end{split} \end{equation*} Lautta on tehty jäästä ja on sylinterin muotoinen, jolloin sen paino voidaan kirjoittaa muodossa: \begin{equation*} m_{lautta} = \rho_{jaa} V = \rho_{jaa} \pi r^2h =\rho_{jaa} \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2h \end{equation*} Lasketaan nosteen suuruus rajatapauksessa, kun lautta on juuri ja juuri vedenpinnan yllä: \begin{equation*} F_n = \rho_{vesi}gV = \rho_{vesi}g\pi \left(\frac{D}{2}\right)^2h \end{equation*} Sijoittamalla nämä tiedot aikaisempaan yhtälöön saadaan: \begin{equation*} \begin{split} \rho_{vesi}g\pi \left(\frac{D}{2}\right)^2h &= g(nm_{1.pingviini}+\rho_{jaa} \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2h) \\ \rho_{vesi}\pi \frac{D^2}{4}h &= nm_{1.pingviini}+\rho_{jaa} \pi \frac{D^2}{4}h \\ \frac{D^2}{4}\pi h \left(\rho_{vesi}-\rho_{jaa} \right) &= nm_{1.pingviini} \\ n &= \frac{D^2}{4m_{1.pingviini}}\pi h \left(\rho_{vesi}-\rho_{jaa} \right) \\ n &= \frac{(15\,\mathrm{m})^2}{4\cdot 30\,\mathrm{kg}}\cdot 3{,}14159 \cdot 1\,\mathrm{m} \left(1030-917 \right)\mathrm{\frac{kg}{m^3}} \\ n &= 665{,}62438 \\ n &\approx 665 \end{split} \end{equation*} Lautalle mahtuu yhteensä 665 pingviiniä.

Tarkastellaan tilannetta Newtonin II lain avulla. Valitaan positiiset suunnat ylöspäin ja oikealle. Newton II \(x\)-suunnassa: \begin{equation*} \begin{split} \sum \overline{F}_x &= \overline{0} \\ \overline{F}_x+\overline{T}_x &= \overline{0} \\ F_x-T_x &= 0 \\ F_x &= T\cos{\theta} \\ \end{split} \end{equation*} ja \(y\)-suunnassa: \begin{equation*} \begin{split} \sum \overline{F}_y &= \overline{0} \\ \overline{F}_y+\overline{T}_y+\overline{G} &= \overline{0} \\ -F_y+T_y -G &= 0 \\ F_y &= T\sin{\theta}-mg \\ \end{split} \end{equation*} Tarkastellaan nyt pyörimisen tasapainoa. Valitaan tarkastelupisteeksi olkapää. Valitaan positiivinen kiertosuunta vastapäivään. Tällöin tarkastelupisteessä voiman \(F\) momentti nolla. \begin{equation*} \begin{split} \sum M &= 0 \\ aT_y - bG &= 0\\ aT\sin{}\theta &= bmg \\ T &= \frac{bmg}{a\sin{\theta}} \\ T &= \frac{33\cdot10^{-2}\,\mathrm{m}\cdot 18\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}{15\cdot10^{-2}\,\mathrm{m}\cdot\sin{17^\circ}} \\ T &\approx \frac{33\cdot10^{-2}\,\mathrm{m}\cdot 18\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}{15\cdot10^{-2}\,\mathrm{m}\cdot0{,}292} \\ T &= 1330{,}397\,\mathrm{N} \\ T &\approx 1330\,\mathrm{N} \\ \end{split} \end{equation*} Aiemmista yhtälöistä saadaan ratkaistua voiman \(F\) komponentit: \begin{equation*} \begin{split} F_x &= T\cos{\theta} \\ F_x &= 1330{,}397\,\mathrm{N}\cdot\cos{17^\circ} \\ F_x &\approx 1330{,}397\,\mathrm{N}\cdot 0{,}956 \\ F_x &= 1271{,}850\,\mathrm{N}\\ \end{split} \end{equation*} ja: \begin{equation*} \begin{split} F_y &= T\sin{\theta}+mg \\ F_y &= 1330{,}397\,\mathrm{N}\cdot\sin{17^\circ}+18\,\mathrm{kg}\cdot9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} \\ F_y &\approx 1330{,}397\,\mathrm{N}\cdot0{,}292-18\,\mathrm{kg}\cdot9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} \\ F_y &= 212{,}390\,\mathrm{N} \\ \end{split} \end{equation*} Jolloin kokonaisvoima \(F\) saadaan Pythagoraan lauseen avulla: \begin{equation*} \begin{split} F^2 &= F_x^2+F_y^2 \\ F &= \sqrt{F_x^2+F_y^2} \\ F &= \sqrt{(1271{,}850\,\mathrm{N})^2 +(212{,}390\,\mathrm{N} )^2} \\ F &= \sqrt{1{,}66271\cdot10^{6}\,\mathrm{N^2}} \\ F &= \sqrt{1{,}66271}\cdot10^{3}\,\mathrm{N} \\ F &\approx 1{,}28\cdot10^{3}\,\mathrm{N} \\ F &= 1280\,\mathrm{N} \\ \end{split} \end{equation*} b) Kulman suuruus saadaan tangentin avulla: \begin{equation*} \tan\varphi = \frac{F_y}{F_x} = \frac{212{,}390\,\mathrm{N} }{1271{,}850\,\mathrm{N}} = 0{,}166 \Rightarrow \varphi \approx 9{,}4^\circ \end{equation*}