Piirretään mallikuva tilanteesta:

Pallo kiertää kolme kokonaista kierrosta 12 sekunnissa. Pallolla on siis kulmanopeus: \begin{equation*} \omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}= \frac{3\cdot2\pi}{12\,\mathrm{s}} = \frac{\pi}{3}\,\mathrm{\frac{1}{s}} \end{equation*} Muodostetaan Newtonin II lain mukainen liikeyhtälö \(x\)-suunnassa: \begin{equation*} \begin{split} \sum \overline{F}_x &= m\overline{a}_n \\ \overline{F}_x &= m\overline{a}_n \\ F\sin{\theta} &= m\frac{v^2}{R} \quad (1) \end{split} \end{equation*} vastaavasti $y$-suunnassa: (sovitaan positiivinen suunta ylöspäin) \begin{equation*} \begin{split} \sum \overline{F}_y &= \overline{0} \\ \overline{G}+\overline{F}_y &= \overline{0} \\ -G+F\cos{\theta} &= 0 \\ F\cos{\theta} &= mg \quad (2) \\ \end{split} \end{equation*} Jaetaan yhtälö (1) puolittain yhtälöllä (2): \begin{equation*} \begin{split} \frac{F\sin{\theta}}{F\cos{\theta}} &= \frac{m\frac{v^2}{R}}{mg} \\ \tan\theta &= \frac{v^2}{gR} \end{split} \end{equation*} Rata- ja kulmanopeden välillä on yhteys: \begin{equation*} v=\omega R \end{equation*} Sijoitetaan edelliseen yhtälöön: \begin{equation*} \begin{split} \tan\theta &= \frac{(\omega R)^2}{gR} \\ \tan\theta &= \frac{\omega^2 R}{g} \\ \end{split} \end{equation*} Toisaalta tangentille voidaan kirjoittaa: \begin{equation*} \tan\theta = \frac{R}{h} \end{equation*} Toisaalta korkeus voidaan esittää pituuden avulla: \begin{equation*} \cos{\theta} = \frac{h}{\ell}\Rightarrow h =\ell \cos{\theta} \end{equation*} Yhtälö voidaan kirjoittaa nyt muotoon: \begin{equation*} \begin{split} \frac{R}{h} &= \frac{\omega^2 R}{g} \\ \frac{R}{\ell \cos{\theta}} &= \frac{\omega^2 R}{g} \\ \frac{1}{\ell \cos{\theta}} &= \frac{\omega^2 }{g} \\ \cos{\theta} &= \frac{g}{\ell\omega^2} \\ \cos{\theta} &= \frac{9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}{10\,\mathrm{m}\cdot(\frac{3{,}14159}{3}\,\mathrm{\frac{1}{s}})^2}\\ \cos{\theta} &= 0{,}8945 \\ \theta &\approx 26{,}54\,^\circ \\ \theta &\approx 27\,^\circ\\ \end{split} \end{equation*}

Laatikon törmätessä jouseen, sen kineettinen energia alkaa pienentyä. Kineettinen energia muuttuu törmäyksen aikana kitkan tekemäksi työksi, mutta myös jousen potentiaalienergiaksi. Tehtävässä On huomattava, kun laatikko törmää jouseen se liikkuu matkan \(x\) eteenpäin, jolloin jousi puristuu matkan \(x\), mutta kitka tekee samalla työtä saman matkan ajan. Soveltamalla energian säilymistä: \begin{equation*} \begin{split} E_{kin} &= E_{pot,jousi}+W_{\mu} \\ \frac{1}{2}mv^2 &= \frac{1}{2}kx^2+F_\mu x \\ \frac{1}{2}mv^2 &= \frac{1}{2}kx^2+\mu N x \\ \end{split} \end{equation*} Ratkaistaan tukivoiman lauseke. Newtonin II lain mukaan \(y\)-suunnassa: \begin{equation*} \sum \overline{F}_y = \overline{0} \Rightarrow N=G\Rightarrow N=mg \end{equation*} Yhtälö saadaan muotoon: \begin{equation*} \begin{split} \frac{1}{2}mv^2 &= \frac{1}{2}kx^2+\mu mg x \\ mv^2 &= kx^2+2\mu mg x \\ kx^2+2\mu mg x-mv^2 &=0 \\ \end{split} \end{equation*} Sijoitetaan lukuarvot ja ratkaistaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \begin{equation*} \begin{split} 80x^2+2\cdot0{,}5 \cdot 3\cdot 9{,}81 x-3\cdot (2)^2 &=0 \\ 80x^2+29{,}43x-12 &= 0 \\ \Rightarrow x&= \frac{-29{,}43\pm\sqrt{(29{,}43)^2-4\cdot80\cdot(-12)}}{2\cdot 80} \\ x&=\frac{-29{,}43\pm\sqrt{4706{,}12}}{160} \\ x&=\frac{-29{,}43\pm\sqrt{0{,}470612\cdot10^{4}}}{160} \\ x&=\frac{-29{,}43\pm10^{2}\cdot\sqrt{0{,}470612}}{160} \\ \end{split} \end{equation*} Tehtävänannon taulukosta saadaan luettua neliöjuuren likiarvoksi: \begin{equation*} x\approx \frac{-29{,}43\pm10^{-2}\cdot0{,}68}{160} \\ \end{equation*} Josta saadaan kaksi ratkaisua: \(x = 0{,}2410 \,\mathrm{m}\) ja \(x =- 0{,}6089 \,\mathrm{m}\). Hylätään negatiivinen ratkaisu. Jousi puristuu siis matkan \(x\approx 0{,}24 \,\mathrm{m}\).

Ratkaistaan jousen venymä kun sitä poikkeutetaan matka \(\Delta x\) vasemmalle. Tilanteessa muodostuu suorakulmainen kolmio: \begin{equation*} \begin{split} c^2 &= (\Delta x)^2 + \ell^2 \\ \end{split} \end{equation*} Tilanteeseen voi soveltaa energian säilymistä. Kappaleella on alussa vain potentiaalista energiaa kahden jousen verran, koska se lähtee levosta. Toisaalta kun se on kulkenut matkan \(\Delta x\), jouset ovat levossa. Eli lopussa kappaleella on vain kineettistä energiaa. \begin{equation*} \begin{split} 2E_{pot} &= E_{kin} \\ 2\cdot\frac{1}{2}kc^2 &= \frac{1}{2}mv^2 \\ 2k\left((\Delta x)^2 + \ell^2\right)&= \frac{1}{2}mv^2 \\ 2k\left((\Delta x)^2 + \ell^2\right) &= mv^2 \\ v &= \sqrt{\frac{2k\left((\Delta x)^2 + \ell^2\right)}{m}} \end{split} \end{equation*}