a) Selvitetään ensin kaiuttimen lähettämä äänen intensiteetti annetusta äänenvoimakkuus tasosta: \begin{equation*} \begin{split} L &= 10\lg{\left(\frac{I_{kaiutin}}{I_0}\right)} \\ \frac{L}{10} &= \lg{\left(\frac{I_{kaiutin}}{I_0}\right)} \\ 10^{\frac{L}{10}} &= \frac{I_{kaiutin}}{I_0} \\ \Rightarrow I_{kaiutin} &= 10^{\frac{L}{10}}\cdot I_0 \\ I_{kaiutin} &= 10^{\frac{100}{10}}\cdot 10^{-12} \,\mathrm{\frac{W}{m^2}} \\ I_{kaiutin} &= 10^{10}\cdot 10^{-12} \,\mathrm{\frac{W}{m^2}} \\ I_{kaiutin} &= 0,01 \,\mathrm{\frac{W}{m^2}} \\ \end{split} \end{equation*} Ratkaistaan seuraavaksi kuinka suuri äänen intensiteetti on \(r_1 = 4{,}0\) metrin päässä kaiuttimesta. Tiedetään, että äänen intensiteetti on suoraan verrannollista etäisyyden neliöön: \begin{equation*} I \propto \frac{1}{r^2} \end{equation*} Eli kaiuttimen lähettämä intensiteetti on tulee olla 4 metrin etäisyydellä pienentynyt \(4^2\) verran. Toisin sanoen intensiteettien suhteelle siis: \begin{equation*} \begin{split} \frac{I_{havaittu}}{I_{kaiutin}} &= \frac{1\mathrm{m^2}}{(4\,\mathrm{m})^2} \\ I_{havaittu} &= \frac{1\,\mathrm{m^2}}{(4\,\mathrm{m})^2}\cdot I_{kaiutin} \\ I_{havaittu} &= \frac{1\,\mathrm{m^2}}{(4\,\mathrm{m})^2}\cdot \left( 0{,}01 \,\mathrm{\frac{W}{m^2}}\right) \\ I_{havaittu} &= 6{,}25\,\mathrm{\frac{W}{m^2}} \\ I_{havaittu} &\approx 6{,}3\,\mathrm{\frac{W}{m^2}} \\ \end{split} \end{equation*} b) Tilanteeseen tuodaan nyt seinä, ratkaistaan etäisyydet muodostuvasta suorakulmaisista kolmiosta: (tilanne on symmetrinen, eli seinän etäisyys on sama kaiuttimeen sekä pisteeseen)

Pythagoraan lauseesta saadaan tehtävänannon taulukkoa hyödyntämällä: \begin{equation*} \begin{split} x^2 &= (2{,}0 \,\mathrm{m})^2+(1{,}5 \,\mathrm{m})^2 \\ x^2 &= 6{,}25 \,\mathrm{m^2} \\ \end{split} \end{equation*} Lasketaan kuinka suuri intensiteetti saapuu seinälle \(I_{s}\) samalla tyylillä kuin a) kohdassa: \begin{equation*} \begin{split} \frac{I_{s}}{I_{kaiutin}} &= \frac{1\,\mathrm{m^2}}{x^2} \\ I_s &= \frac{1\,\mathrm{m^2}}{x^2}\cdot I_{kaiutin} \\ I_s &= \frac{1\,\mathrm{m^2}}{6{,}25\,\mathrm{m^2}}\cdot 0{,}01 \mathrm{\frac{W}{m^2}} \\ I_s &= 0{,}0016 \,\mathrm{\frac{W}{m^2}} \\ I_s &= 1{,}6\cdot10^{-3} \,\mathrm{\frac{W}{m^2}} \end{split} \end{equation*} Tämä kimpoaa seinästä, mutta seinä imee siitä 70\%. Eli heijastuneen intensiteetin suuruus: \begin{equation*} I_s' = (1-0,7)\cdot1,6\cdot10^{-3} \,\mathrm{\frac{W}{m^2}} = 4,8\cdot10^{-4}\,\mathrm{\frac{W}{m^2}} \end{equation*} Intensiteetti kulkee nyt matkan seinältä pisteeseen, jolloin heijastunut intensiteetti pisteessä: \begin{equation*} \begin{split} \frac{I_{heijastunut}'}{I_{s}'} &= \frac{1\,\mathrm{m^2}}{x^2} \\ I_{heijastunut}' &= \frac{1\,\mathrm{m^2}}{6{,}25\,\mathrm{m^2}} \cdot 4{,}8\cdot10^{-4}\,\mathrm{\frac{W}{m^2}} \\ I_{heijastunut}' &= 7{,}68 \,\mathrm{\frac{W}{m^2}} \\ I_{heijastunut}' &\approx 7{,}7 \,\mathrm{\frac{W}{m^2}} \\ \end{split} \end{equation*}

Jätetään tehtävässä ilmanvastus huomiotta.
Äänirauta tiputetaan katolta, jolloin sen etäisyys tarkkailijaan (fyysikko) kasvaa. Putoamiskiihtyvyys myös kiihdyttää äänirautaa alaspäin, jolloin sen nopeus kasvaa ajan kuluessa, joka johtaa havaitun taajuuden pienenemiseen. Dopplerin ilmiötä soveltamalla saadaan ratkaistua ääniraudan nopeus: \begin{equation*} \begin{split} f_{hav} &= \frac{v_{ilma}}{v_{ilma}+v_{rauta}}f_0 \\ f_{hav}v_{ilma}+f_{hav}v_{rauta} &= f_0v_{ilma} \\ v_{rauta} &= \frac{f_0v_{ilma}-f_{hav}v_{ilma}}{f_{hav}} \\ v_{rauta} &= \frac{v_{ilma}(f_0-f_{hav})}{f_{hav}} \\ v_{rauta} &= \frac{343\,\mathrm{\frac{m}{s}}\cdot(515\,\mathrm{Hz}-485\,\mathrm{Hz})}{485\,\mathrm{Hz}} \\ v_{rauta} &= 21,2164\,\mathrm{\frac{m}{s}} \\ \end{split} \end{equation*} Ratkaistaan seuraavaksi kauanko kestää, että putoamiskiihtyvyys kiihdyttää ääniraudan tähän nopeuden arvoon. Äänirauta lähtee levosta jolloin: \begin{equation*} v_{rauta} = gt \Rightarrow t = \frac{v_{rauta}}{g} \end{equation*} Jolloin äänirauta on pudonnut matkan \(h\) ajassa \(t\): \begin{equation*} \begin{split} h &= \frac{1}{2}gt^2 \\ h &= \frac{1}{2}g\left(\frac{v_{rauta}}{g} \right)^2 \\ h &= \frac{2v_{rauta}}{2g} \\ h &= \frac{ \left(21{,}2164\,\mathrm{\frac{m}{s}}\right)^2}{2\cdot9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}} \\ h &= 22{,}9426 \,\mathrm{m} \\ \end{split} \end{equation*} Havaitsija katolla kuulee äänen ajan \(t'\) kuluttua, kun ääni on kulkenut matkan \(h\): \begin{equation*} h = v_{ilma}t' \Rightarrow t' = \frac{h}{v_{ilma}} = \frac{22{,}9426 \,\mathrm{m}}{343\,\mathrm{\frac{m}{s}}} = 0{,}06688\,\mathrm{s} \\ \end{equation*} Tässä ajassa äänirauta putoaa vielä lisäksi matkan: \begin{equation*} \begin{split} h' &= v_{rauta}t'+\frac{1}{2}gt'^2 \\ h' &= 21,2164\,\mathrm{\frac{m}{s}}\cdot 0,06688\,\mathrm{s}+\frac{1}{2}\cdot 9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot (0{,}06688\,\mathrm{s})^2 \\ h' &= 1{,}4191 \mathrm{m} \\ \end{split} \end{equation*} Jolloin rauta on pudonnut kokonaisuudessaan matkan: \begin{equation*} \begin{split} h_{kok} &= h+h' \\ h_{kok}&= 22{,}9426 \,\mathrm{m}+ 1{,}4191 \mathrm{m} \\ h_{kok} &= 24{,}3617\,\mathrm{m} \\ h_{kok} &\approx 24{,}3\,\mathrm{m} \\ \end{split} \end{equation*}

a) Ratkaistaan ultraäänen nopeus potilaan kudoksissa. Aaltoliikkeen perusyhtälön mukaan: \begin{equation*} v = \lambda f = 308\cdot10^{-6}\,\mathrm{m}\cdot5{,}0\cdot10^{6}\,\mathrm{\frac{1}{s}} = 1540\,\mathrm{\frac{m}{s}} \end{equation*} Kun ultraääni pulssi lähtee anturilta se kulkee potilaan kudoksessa. Kasvaimeen törmätessä siitä heijastuu ensimmäinen havaittava kaiku kasvaimen etuseinästä. Ultraääni jatkaa kulkuaan kasvaimen sisällä kunnes se törmää sen takaseinään, josta heijastuu toinen havaittava kaiku. Ensimmäinen pulssi kulkee anturin ja kasvaimen etuseinän välisen matkan (= syvyys) siis kahdesti! Toisaalta koska pulssi kulkee vakionopeudella saadaan ratkaistua anturin ja etuseinän välinen matka: \begin{equation*} \begin{split} 2s_{etu} &= vt_{etu} \\ s_{etu} &= \frac{vt_{etu}}{2} \\ s_{etu} &= \frac{1540\,\mathrm{\frac{m}{s}}\cdot 9{,}5\cdot 10^{-6}\,\mathrm{s}}{2} \\ s_{etu} &= 0{,}007315\,\mathrm{m} \\ s_{etu} &\approx 7{,}31\,\mathrm{mm} \\ \end{split} \end{equation*} b) Ratkaistaan seuraavaksi mikä on anturin ja kasvaimen takaseinän välinen etäisyys vastaavalla tavalla: \begin{equation*} \begin{split} 2s_{taka} &= vt_{taka} \\ s_{taka} &= \frac{1540\,\mathrm{s} \cdot 4{,}84\cdot10^{-5}\,\mathrm{s}}{2} \\ s_{taka} &= 0{,}037268\,\mathrm{m}\\ \end{split} \end{equation*} Toisaalta kasvaimen paksuus on etu- ja takaseinän välinen etäisyys: kuvan piirtäminen saattaa auttaa tilanteen hahmottamisessa \begin{equation*} \begin{split} d &= s_{taka}- s_{etu} \\ d &= 0{,}037268\,\mathrm{m}-0{,}007315\,\mathrm{m} \\ d &= 0{,}02968\,\mathrm{m} \\ d &\approx 29{,}7\,\mathrm{mm} \end{split} \end{equation*}