Ratkaistaan virtapiirin kokonaisresistanssi. Vasen vastus \(R_v\) ja jännitemittari \(R_m\) ovat rinnankytkettyjä: \begin{equation*} \begin{split} \frac{1}{R_{v,m}} &= \frac{1}{R_v}+\frac{1}{R_{m}} \\ R_{v, m} &= \left( \frac{1}{R_v}+\frac{1}{R_{m}}\right)^{-1} \\ \end{split} \end{equation*} Yhdistetty vastus ja oikean puoleinen vastus ovat nyt sarjaankytkettynä: \begin{equation*} R_{kok} = R_o +R_{v, m} = R_o +\left( \frac{1}{R_v}+\frac{1}{R_{m}}\right)^{-1} \end{equation*} Sovitaan virran kiertosuunta myötäpäivään. Virta haarautuu piirissä mittarille ja vasemmalle vastukselle Kirchoffin 1 lain mukaisesti: \begin{equation*} \begin{split} I_{kok} &= I_{m} + I_v \\ \frac{U_{kok}}{R_{kok}} &= \frac{U_{m}}{R_{m}} +\frac{U_v}{R_v} \\ \end{split} \end{equation*} Toisaalta mittarin ja vasemman vastuksen potentiaali on sama rinnan kytkennässä. \begin{equation*} \begin{split} \frac{U_{kok}}{R_{kok}} &= \frac{U_{m}}{R_{m}} +\frac{U_m}{R_v} \\ \frac{U}{R_o +\left( \frac{1}{R_v}+\frac{1}{R_{m}}\right)^{-1}} &= \frac{U_{m}}{R_{m}} +\frac{U_m}{R_v} \\ U &= \left(\frac{U_{m}}{R_{m}} +\frac{U_m}{R_v} \right)\cdot\left(R_o +\left( \frac{1}{R_v}+\frac{1}{R_{m}}\right)^{-1}\right) \\ U &= U_m\left(\frac{1}{R_{m}} +\frac{1}{R_v} \right)\cdot\left(R_o +\left( \frac{1}{R_v}+\frac{1}{R_{m}}\right)^{-1}\right) \\ U &= U_m\left(\frac{1}{R_{m}} +\frac{1}{R_v} \right)R_o+U_m\underbrace{\left(\frac{1}{R_{m}} +\frac{1}{R_v} \right)\left( \frac{1}{R_v}+\frac{1}{R_{m}}\right)^{-1}}_{1} \\ U &= U_m\left(\frac{1}{R_{m}} +\frac{1}{R_v} \right)R_o+U_m \\ \frac{U}{U_m} &= \frac{R_o}{R_m}+\frac{R_o}{R_v}+1 \\ \frac{U}{U_m}-1&= \frac{R_o}{R_m}+\frac{R_o}{R_v} \\ \frac{15\,\mathrm{V}}{4\,\mathrm{V}}-1&= \frac{R_o}{R_m}+\frac{R_o}{R_v} \\ 2{,}75&= \frac{7{,}5\,\mathrm{\Omega}}{8{,}5\,\mathrm{\Omega}}+\frac{7{,}5\,\mathrm{\Omega}}{R_v} \\ \frac{1}{R_v} &= \frac{1}{7{,}5\,\mathrm{\Omega}}\left(2{,}75-0{,}8823\right) \\ R_v &= 4{,}0157\,\mathrm{\Omega} \\ R_v &\approx 4{,}0\,\mathrm{\Omega} \\ \end{split} \end{equation*}

a) Levykondensaattorin \(A\) kapasitanssille voidaan kirjoittaa: \begin{equation*} C_A = \varepsilon_0\frac{A_{A}}{d} = \varepsilon_0\frac{\pi R^2}{d} \end{equation*} Levykondensaattorin \(B\) kapasitanssille voidaan kirjoittaa: \begin{equation*} C_B = \varepsilon_0\frac{A_{B}}{2d} = \varepsilon_0\frac{R^2}{2d} \end{equation*} Tarkastellaan kapasitanssien suhdetta: \begin{equation*} \begin{split} \frac{C_B}{C_A} &= \frac{ \varepsilon_0\frac{R^2}{2d}}{\varepsilon_0\frac{\pi R^2}{d}} \\ \frac{C_B}{C_A} &= \frac{R^2}{2d}\cdot \frac{d}{\pi R^2} \\ \frac{C_B}{C_A} &= \frac{1}{2\pi} \\ C_B &= \frac{C_A}{2\pi} \end{split} \end{equation*}
b) Kondensaattori \(A\) on nyt täytetty nesteellä, jolla on suhteellinen permittiivisyys \(\varepsilon_r\). Kondensaattorin kapasitanssi on nyt: \begin{equation*} C_A = \varepsilon_0\varepsilon_r \frac{\pi R^2}{d} \end{equation*} Kondensaattorien kapasitanssit halutaan olevan yhtä suuret: \begin{equation*} \begin{split} C_A &= C_B \\ \varepsilon_0\varepsilon_r \frac{\pi R^2}{d} &= \varepsilon_0\frac{R^2}{2d} \\ \varepsilon_r \frac{\pi R^2}{d} &= \frac{R^2}{2d} \\ \varepsilon_r &= \frac{R^2}{2d}\cdot\frac{d}{\pi R^2} \\ \varepsilon_r &= \frac{1}{2\pi} \\ \end{split} \end{equation*}

Varaus \(Q\) kulkee suoraan ylöspäin, jolloin siihen ei kohdistu \(x\)-suuntaista voimaa. Tämä tarkoittaa, että varausten \(q_1\) ja \(q_2\) tulee olla yhtäsuuret, mutta vastakkaissuuruiset koska niiden aiheuttaman voiman vaakakomponentit kumoavat toisensa. Toisaalta varaus \(Q=-2{,}0\,\mathrm{nC}\) lähtee kulkemaan suoraan ylöspäin, jolloin varauksen \(q_1\) tulee vetää varausta \(Q\) puoleensa ja varauksen \(q_2\) tulee työntää varausta \(Q\) ylöspäin. Eli siis varaukselle \(q_1>0\) ja varaukselle \(q_2<0\). Ratkaistaan kuinka suuren kokonaisvoiman varaus \(Q\) tarvitsee kiihtyvyyttä varten: \begin{equation*} F_{kok} = ma = 5{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm{kg}\cdot 325\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} = 1{,}625\,\mathrm{N} \end{equation*} Kokonaisvoima \(F_{kok}\) koostuu varausten \(q_1\) ja \(q_2\) aiheuttaman sähköisen veto/työntö voiman pystykomponenteista: \begin{equation*} \begin{split} F_{kok} &= F_{Qq_1,y}+F_{Qq_2,y} \\ \end{split} \end{equation*}

Kuvan tilanne on symmetrinen. Kosinin avulla saadaan ratkaistua kulman \(\theta\) suuruus: \begin{equation*} \cos{\theta} = \frac{2{,}25\,\mathrm{cm}}{3{,}0\,\mathrm{cm}} = 0{,}75 \end{equation*} Jolloin voimien pystykomponentit saadaan kirjoitettua muodossa: \begin{equation*} \begin{split} \Rightarrow F_{kok} &= F_{Qq_1}\cos{\theta}+F_{Qq_2}\cos{\theta} \\ \end{split} \end{equation*} Toisaalta varaukset ovat itseisarvoltaan yhtä suuret \(|q|=|q_1|=|q_2|\): \begin{equation*} \begin{split} \Rightarrow F_{kok} &= 2F_{Qq}\cos{\theta} \\ \frac{F_{kok}}{2\cos{\theta}} &= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|Q|q}{r^2} \\ q &= \frac{4\pi\varepsilon_0 r^2F_{kok}}{2|Q|\cos{\theta}} \\ q &= \frac{2\pi\varepsilon_0 r^2F_{kok}}{|Q|\cos{\theta}} \\ q &= \frac{2\cdot3{,}14159\cdot8{,}85\cdot10^{-12}\,\mathrm{\frac{N}{m}}\cdot (3\cdot10^{-2}\,\mathrm{m})^2\cdot1{,}625\,\mathrm{N}}{ |-2{,}0\cdot10^{-6}\,\mathrm{C}|\cdot 0{,}75} \\ q &= 5{,}4215\cdot10^{-8}\,\mathrm{C} \\ q &\approx 54{,}2\,\mathrm{nC} \end{split} \end{equation*} Varaus \(q_1\) on positiivinen siis \(q_1=-54{,}2\,\mathrm{nC}\) ja varaus \(q_2\) negatiivinen siis \(q_2 = 54{,}2\,\mathrm{nC}\)

Vastus kuluttaa tehoa \(P\) verran, jolloin Joulen laista saadaan ratkaistua sähkövirran suuruus joka kulkee vastuksen läpi: \begin{equation*} P = UI = RI^2 \Rightarrow I = \sqrt{\frac{P}{R}} = \sqrt{\frac{250\,\mathrm{W}}{2{,}5\,\mathrm{\Omega}}} = 10\,\mathrm{A} \end{equation*} Soveltamalla piiriin Kirchoffin toista lakia saadaan: \begin{equation*} \begin{split} \sum \Delta V &= 0 \\ U-U_{vastus}-U_{kondensaattori} &= 0 \\ U-RI-\frac{Q}{C} &= 0 \\ Q &= C(U-RI) \\ Q &= 6{,0}\cdot10^{-6}\,\mathrm{F}\cdot (50{,}0\,\mathrm{V}-2{,}5\,\mathrm{\Omega}\cdot 10\,\mathrm{A}) \\ Q &= 1{,}5\cdot 10^{-5}\,\mathrm{C} \end{split} \end{equation*} Jolloin kondensaattoriin varastoitunut energia: \begin{equation*} \begin{split} E &= \frac{1}{2}CU^2 \\ E &= \frac{Q^2}{2C} \\ E &= \frac{(1{,}5\cdot 10^{-5}\,\mathrm{C})^2}{2\cdot 6{,}0\cdot10^{-6}\,\mathrm{F}} \\ E&= 0{,}001875\,\mathrm{J} \\ E &\approx 1{,9}\,\mathrm{mJ} \end{split} \end{equation*}

Muodostetaan Kirchoffin toisen lain mukainen yhtälö: \begin{equation*} \begin{split} \sum \Delta V &= 0 \\ U - U_{vastus}-U_{termistori} &= 0 \\ U-RI-(aI+bI^2) &= 0 \\ bI^2+I(R+a)-U &= 0 \end{split} \end{equation*} Huomataan, että saimme toisen asteen yhtälön. Ratkaisukaavaa käyttämällä: (tehdään sijoitus ilman yksiköitä) \begin{equation*} \begin{split} I &= \frac{-(R+a)\pm\sqrt{(R+a)^2-4b\cdot(-U)}}{2b} \\ I &= \frac{-(3{,}5+4{,}0)\pm\sqrt{(-3{,}5+4{,}0)^2-4\cdot 1{,}4\cdot(-13{,}2)}}{2\cdot 1{,}4} \\ I &= \frac{-7{,}5\pm\sqrt{130{,}17}}{2\cdot 1{,}4} \\ I &= \frac{-7{,}5\pm\sqrt{13{,}017\cdot 10}}{2\cdot 1{,}4} \\ I &= \frac{-7{,}5\pm\sqrt{13{,}017}\sqrt{10}}{2\cdot 1{,}4} \\ I &\approx \frac{-7{,}5\pm3{,}60\cdot 3{,}16}{2\cdot 1{,}4} \\ I &= \frac{-7{,}5\pm3{,}60\cdot 3{,}16}{2\cdot 1{,}4} \\ I &= -6{,}741 \text{ tai } I = 1{,}384 \end{split} \end{equation*} Hyväksytään vain positiivinen ratkaisu \(I\approx 1{,}4\,\mathrm{A}\).