Johdetaan yleinen lauseke kappaleen säteelle magneettikentässä. Magneettikentässä varaukset ohjautuu ympyräliikkeeseen. Newtonin II lain mukaan tällöin: \begin{equation*} \begin{split} \sum \overline{F} &= m\overline{a}_n \\ \overline{F}_B &= m\overline{a}_n \\ qvB &= m\frac{v^2}{r} \\ qB &= m\frac{v}{r}\\ r &= \frac{m}{qB}\cdot v \end{split} \end{equation*} Ratkaistaan hiukkasten nopeus \(v\). Sähkökentän tekemä työ muuttuu hiukkasten kineettiseksi energiaksi: \begin{equation*} \begin{split} W_{kentta} &= E_{kin} \\ qU &= \frac{1}{2}mv^2 \\ v &= \sqrt{\frac{2qU}{m}} \end{split} \end{equation*} jolloin säteelle saadaan: \begin{equation*} r = \frac{m}{qB}\cdot \sqrt{\frac{2qU}{m}} = \sqrt{\frac{2mU}{qB^2}} \end{equation*} Pistevarauksilla on sama varaus, merkitään \(Q=Q_A=Q_B\). Eli varauksille \(A\) ja \(B\) säde: \begin{equation*} \begin{split} r_A &= \sqrt{\frac{2U}{Qm_AB^2}} \\ r_B &= \sqrt{\frac{2U}{Qm_BB^2}} \\ \end{split} \end{equation*} Eli suhde: \begin{equation*} \begin{split} \frac{r_B}{r_A} &= \frac{\sqrt{\frac{2U}{Qm_BB^2}}}{ \sqrt{\frac{2U}{Qm_AB^2}}} \\ \frac{r_B}{r_A} &= \sqrt{\frac{\frac{2U}{Qm_BB^2}}{\frac{2U}{Qm_AB^2}}} \\ \frac{r_B}{r_A} &= \sqrt{\frac{\frac{1}{m_B}}{\frac{1}{m_A}}} \\ \frac{r_B}{r_A} &= \sqrt{\frac{m_A}{m_B}} \\ \frac{r_B}{r_A} &= 3 \\ \end{split} \end{equation*}

Oikean käden säännön mukaan magneettikenttä on tasosta sisäänpäin. Piirretään kuva, jossa näkyy magneettiset voimat:

Voimat \(F_1\) ja \(F_3\) ovat yhtä suuret, mutta vastakkaiset suuntaiset symmetrian takia. Toisaalta voima \(F_4>F_2\), koska se on virtajohtimen vieressä. Magnettivuon tiheys voimalle \(F_4\) saadaan: (\(r\) on etäisyys virtajohtimesta) \begin{equation*} B_4 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r} = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi d} \end{equation*} toisaalta magneettivuontiheys voimalle \(F_2\): \begin{equation*} B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi (d+b)} \end{equation*} Jolloin voimien suuruudet: (huom virrat) \begin{equation*} \begin{split} F_4 &= B_4I_1a = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi d}I_1a \\ F_2 &= B_2I_1a = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi (d+b)}I_1a \end{split} \end{equation*} Koska voimat \(F_1\) ja \(F_3\) kumoavat toisensa, jätetään ne huomiotta. Kokonaisvoima koostuu siis voimista \(F_4\) ja \(F_2\). Valitaan positiivinen suunta vasemmalle: \begin{equation*} \begin{split} F_{kok} &=F_4-F_2 \\ F_{kok} &= \frac{\mu_0 I_2}{2\pi d}I_1a -\frac{\mu_0 I_2}{2\pi (d+b)}I_1a\\ F_{kok} &= \frac{\mu_0I_2I_1ab}{2\pi d\left(d+b\right)} \\ \end{split} \end{equation*}

a) Oikean käden säännön mukaan virran tulee kulkea johtimessa vasemmalta oikealle.
b) Kappaleeseen vaikuttaa magneettinenvoima sekä painovoima. Jotta kappale olisi tasapainossa niin Newtonin II lain mukaan: \begin{equation*} \begin{split} \sum \overline{F} &= \overline{0} \\ F_B-G &= 0 \\ I\ell B &= mg \\ I\ell B &= \rho V g \\ I\ell B &= g\rho \cdot \pi r^2 \ell \\ I B &= g\rho \pi R^2 \\ I &= \frac{g\rho\pi R^2}{B} \\ I &= \frac{9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot 3{,}25\cdot 10^3\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}\cdot3{,}14159\cdot (2{,}2\cdot10^{-3}\,\mathrm{m})^2}{0{,}65\,\mathrm{T}}\\ I &= 0{,}74581\,\mathrm{A} \\ I &\approx 746\,\mathrm{mA} \\ \end{split} \end{equation*}

a) Indusoituneen jänniteen suuruus: \begin{equation*} \begin{split} e &= \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \\ e &= \frac{\Delta (AB)}{\Delta t} \\ e &= B\frac{\Delta A}{\Delta t} \\ e &= B\frac{\Delta s\cdot a}{\Delta t} \\ e &= Bav \end{split} \end{equation*} jossa \(a\) on johtimen sivun pituus. Kirjoitetaan jännite virran avulla: \begin{equation*} \begin{split} RI &= Bav \\ I &= \frac{Bav}{R} \end{split} \end{equation*} Kappaleen putoessa alaspäin magneettinen voima pyrkii hidastamaan silmukkaa. Newtonin II lain mukainen tilanne kun rajanopeus saavutettu: \begin{equation*} \begin{split} \sum \overline{F} &= \overline{0} \\ \overline{G}+\overline{F}_B &= \overline{0} \\ IaB &= mg \\ \frac{Bav}{R}\cdot aB &= mg \\ \frac{B^2a^2v}{R} &= mg \\ v &= \frac{mgR}{B^2a^2} \\ v &= \frac{0{,}75\,\mathrm{kg}\cdot9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot 55\,\mathrm{\Omega}}{(4{,}5\,\mathrm{T})^2\cdot(1{,}4\,\mathrm{m})^2} \\ v &= 10{,}1955\,\mathrm{\frac{m}{s}} \\ v &\approx 10\,\mathrm{\frac{m}{s}} \\ \end{split} \end{equation*} b) Lenzin lain mukaan virta kulkee silmukassa vastapäivään.